Résistance des matériaux

Résistance des matériaux

 A3-22 Identifier les contraintes, les déformations et les sollicitations d’un solideB2-10 Choisir un modèle de solide (indéformable ou déformable) en fonction de l’objectif viséB2-14 Déterminer le torseur de cohésion dans un solideB2-15 Associer un modèle de contraintes à l’état de sollicitationC2-25 Déterminer la répartition des contraintes dans une section droiteC2-26 Vérifier la résistance mécanique d’une poutre droiteC2-27 Déterminer le coefficient de sécurité par rapport aux exigences du cahier des charges fonctionnelC2-28 Déterminer l’équation de la flèche dans une poutre droite soumise à de la flexion, avec charge
ments ponctuels ou répartition linéique constante de la charge

Sommaire 1 Contraintes	5
1.1 Contraintes dans un matériau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	5
1.2 État de contrainte en un point	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	5
2 Hypothèses de la résistance des matériaux	6
2.1 Hypothèses géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	6
2.2 Hypothèses sur les matériaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	7
2.3 Hypothèse de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	7
2.4 Hypothèses sur les déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	8
2.5 Hypothèse de Saint-Venant	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	8
3 Déformations	8
3.1 Torseur des petits déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	8
3.2 Petits déplacements d’une section droite par rapport à une autre section droite en RdM	9
3.3 Déformations autour d’un point d’une section droite	. . . . . . . . . . . . . . . . . . .	10
4 Torseur de cohésion	11
4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	11
4.2 Détermination du torseur de cohésion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	12
4.3 Identification des sollicitations simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	12
4.4 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	13
5 Contrainte de Traction/Compression	14
5.1 Exemple : pilier d’un bâtiment	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	14
5.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	14
5.3 Relation contrainte-effort normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	14
5.4 Analyse de la déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	15
5.4.1 Loi de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	15
5.4.2 Expression de la déformation élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	16
5.5 Dimensionnement d’une poutre en traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	16

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5.5.1 Critère en contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.5.2 Critère en déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Contrainte de Flexion 186.1 Exemple : flexion d’un pont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.3 Analyse de la déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.4 Expression de la contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6.5 Expression de la déformée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6.6 Moment quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.6.2 Exemples de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.6.3 Théorème de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6.7 Dimensionnement d’une poutre en flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Contrainte de Cisaillement (pour information...) 227.1 Exemple : cisaillement d’un boulon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7.3 Relation contrainte-effort tranchant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7.4 Analyse de la déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7.5 Dimensionnement d’une poutre en cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Contrainte de Torsion 248.1 Exemple : barre de torsion du capteur de couple de la DAE . . . . . . . . . . . . . . . 24
8.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8.3 Hypothèses complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8.4 Déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8.5 Répartition des contraintes dans une section droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8.6 Relation entre contrainte, angle unitaire de torsion et moment de torsion . . . . . . . . 26
8.7 Moment quadratique polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8.8 Contrainte tangentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
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8.9 Relation déformation-rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8.10 Dimensionnement d’une poutre en torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 Concentration de contraintes 289.1 Description du phénomène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9.2 Coefficient de concentration des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9.3 Dimensionnement d’une poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2810 Rappel de quelques caractéristiques mécaniques de certains matériaux 29
11 Cas particulier des poutres hyperstatiques 2911.1 Description du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
11.2 Utilisation du principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30