Rappels de cours et exercices avec solutions

Rappels de cours
et exercices avec solutions

Table des matieres

 

Table des mati`eres1 Elasticit´e ´ 11.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 D´eplacements et d´eformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Loi de comportement ou loi constitutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.4 Cas particulier : ´etat de contraintes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.5 Formules math´ematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 M´ethode des ´el´ements finis : approche r´esistance des mat´eriaux 252.1 Rappels : r´esolution d’un probl`eme stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Partition des degr´es de libert´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Calcul des d´eplacements inconnus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.3 Calcul des r´eactions d’appui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Poutre soumise `a un effort normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Treillis plans `a nœuds articul´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4 Poutre soumise `a un moment de torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5 Flexion des poutres `a plan moyen : mod`ele de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5.1 Rappels : flexion dans le plan {xy} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603 M´ethodes ´energ´etiques : poutres 833.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1.1 Expression de l’´energie de d´eformation en fonction des forces appliqu´ees : formule de Clapeyron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1.2 Th´eor`eme de r´eciprocit´e de Maxwell-Betti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1.3 Th´eor`eme de Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1.4 Th´eor`eme de M´enabr´ea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.1.5 Energie de d´eformation d’une poutre ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.1.6 Formules math´ematiques utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

II	Exercices de r´esistance des mat´eriaux
4 M´ethode des ´el´ements finis	121
4.1 Rappels	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.1.1 Energie de d´eformation ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.1.2 Energie cin´etique ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.1.3 Energie potentielle et ´el´ements finis ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.1.4 Modes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.2.1 Assemblage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.2.2 El´ement de poutre droite soumis `a un effort normal ´ . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.2.3 Exercice : mise en ´equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.2.4 Exercice : mise en ´equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.2.5 Exercice : contraintes et ´energie de d´eformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.2.6 Exercice : contraintes et ´energie de d´eformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.2.7 El´ement de poutre droite soumis `a un effort normal ´ . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.2.8 Exercice : modes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.2.9 El´ement fini de torsion ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.2.10 El´ement fini de flexion : mod`ele de Bernoulli ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.2.11 Exercice : ´elasticit´e plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148